Acwing 5469. 有效点对【正难则反+巧妙选择根节点】

原题链接:https://www.acwing.com/problem/content/5472/

题目描述:

给定一个 n 个节点的无向树,节点编号 1∼n。

树上有两个不同的特殊点 x,y,对于树中的每一个点对 (u,v)(u≠v),如果从 u 到 v 的最短路径需要经过点 x 和点 y(路径的两个端点也算经过),且相对顺序上经过点 x,经过点 y,那么就称 (u,v) 是一个无效点对,否则就称 (u,v) 是一个有效点对。

请你计算树中有效点对的数量。

注意:

  1. (u,v) 和 (v,u) 是两个不同的点对。
  2. 有效点对必须满足 u≠v。

输入输出描述:

输入格式

第一行包含三个整数 n,x,y。

接下来 n−1 行,每行包含两个整数 a,b,表示点 a 和点 b 之间存在一条无向边。

输出格式

一个整数,表示有效点对的数量。

数据范围

前 3 个测试点满足 1≤n≤10。
所有测试点满足 1≤n≤3×10^5,1≤x,y≤n,x≠y,1≤a,b≤n,a≠b。

输入样例1:
3 1 3
1 2
2 3
输出样例1:
5
输入样例2:
3 1 3
1 2
1 3
输出样例2:
4

解题思路:

这个题目的关键就在于巧妙选择根结点方便计算,还有一个非常常用的方法就是正难则反,如果直接计算有效点对,显然存在多种情况,直接计算比较困难,这个时候就应该想到正难则反了,无效点对指的是先经过x点,再经过y点的路径,这个比较好计算,总的点对数为n*(n-1),只需要用总的点对数减去无效点对数就是有效点对数,下面画个图描述一下 ,如下图

我们考虑以x,y路径之间的点为根节点,同时让x在上面,那么就只会出现图1和图2这种情况了,就方便计算了。

对于图1,假设以x为根节点的子树中结点的个数是sizex,以y为根结点的子树中结点个数为sizey,那么这种形式的树中无效点对个数为sizex*sizey,那么有效点对个数就是n*(n-1)-sizex*sizey。

对于图2,可以认为是图1的一种特殊情况,需要特判一下,假设以y为根节点的子树大小为sizey,那么无效点对的起点是y子树中的某个点,无效点对的终点是y子树之外的任意一个点,那么无效点对的数目就是sizey*(n-sizey),那么有效点对的数目就是n*(n-1)-sizey*(n-sizey)。

对于图3,无效点对起点只能是y以及y以下的任意一个点,终点只能是x以及x以上的任意一个点,这个不是很好计算,我们可以以x,y路径上的某一个点为根节点,那么就可以避免图3这种情况,只需要考虑图1和图2这俩种情况即可,为了方便可以以y的父节点为根节点,那么就只需要考虑图1和图2这俩种情况了。

时间复杂度:O(n),n表示点数,因为边数为n-1。

空间复杂度:O(n)。

cpp代码如下:

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;
typedef long long LL;const int N=3e5+10,M=N*2;int n,x,y;
int h[N],e[M],ne[M],idx;
int fa[N];
int sizex,sizey;void add(int a,int b)
{e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}void dfs1(int u,int father)
{fa[u]=father;for(int i=h[u];i!=-1;i=ne[i]){int j=e[i];if(j==father)continue;dfs1(j,u);}
}int dfs2(int u,int father)
{int res=1;for(int i=h[u];i!=-1;i=ne[i]){int j=e[i];if(j==father)continue;int d=dfs2(j,u);res+=d;if(j==x)sizex=d;if(j==y)sizey=d;}return res;
}
int main()
{cin>>n>>x>>y;memset(h,-1,sizeof h);for(int i=0;i<n-1;i++){int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);add(u,v),add(v,u);}dfs1(x,-1);  //第一个dfs是为了让x在上面,y在下面减少需要讨论的情况dfs2(fa[y],-1);  //第二个dfs以x,y路径上的某一个点为根节点方便计算,为了方便,不妨以y的父节点为根节点if(fa[y]==x){  //图2情况cout<<(LL)n*(n-1)-(LL)sizey*(n-sizey);}else {  //图1情况cout<<(LL)n*(n-1)-(LL)sizex*sizey;}return 0;
}

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