无向图的拉普拉斯矩阵

news/2024/10/8 14:55:09/文章来源:https://www.cnblogs.com/zhangxianrong/p/18402781

Definition

定义无权重的无向图G=(V,E)。V是顶点集合,E是边集合。

根据G,可得到一系列定义:

  1. adjacency matrix(邻接矩阵) 𝐴𝐺 :

(1)𝐴𝐺(𝑖,𝑗)={1,(𝑖,𝑗)∈𝐸0,(𝑖,𝑗)∉𝐸

2. degree matrix 𝐷𝐺 :

这是一个对角矩阵,对角线上每个元素:

(2)𝐷𝐺(𝑖,𝑖)=∑𝑗𝐴𝐺(𝑖,𝑗)

3. Laplacian matrix 𝐿𝐺 :

(3)𝐿𝐺=𝐷𝐺−𝐴𝐺

下面举一个例子:

Example(4):如果G有三个顶点1,2,3。有边(1,2)、(1,3)。

𝑉={1,2,3},𝐸={(1,2),(1,3)}

𝐴𝐺=[011100100]𝐷𝐺=[200010001]𝐿𝐺=[2−1−1−110−101]

对于 𝐿𝐺 ,还有一种更方便的定义,就是选择G中每条边,求一个L,然后对L求和,就能得到 𝐿𝐺 。

回到例子(4),总共有两条边,按照上面说的,对每条边求一个L,因此就是两个L:

𝐿𝐺1,2=[1−10−110000],𝐿𝐺1,3=[10−1000−101],

得到:𝐿𝐺=𝐿𝐺1,2+𝐿𝐺1,3

用数学语言的形式表达,得到另一个等价定义:

(5)𝐿𝐺=∑(𝑢,𝑣)∈𝐸𝐿𝐺𝑢,𝑣

我们在用(5)这个定义得到一个结论:

𝑥𝑇𝐿𝐺𝑥=𝑥𝑇[∑(𝑢,𝑣)∈𝐸𝐿𝐺𝑢,𝑣]𝑥=∑(𝑢,𝑣)∈𝐸𝑥𝑇𝐿𝐺𝑢,𝑣𝑥=∑(𝑢,𝑣)∈𝐸(𝑥𝑢−𝑥𝑣)2

即:

(6)𝑥𝑇𝐿𝐺𝑥=∑(𝑢,𝑣)∈𝐸(𝑥𝑢−𝑥𝑣)2

(6)是一个非常重要的性质。

我们根据(6)可以得到一个推论:

Corr 1. 𝐿𝐺 是半正定的。

Laplacian Eigenvalues

𝐿𝐺 是实对称矩阵,因此可以对角化。也就有n个特征向量和特征值(n是G的顶点个数)。我们对n个特征值,从小到大做一个排序:

𝜆1≤𝜆2≤...≤𝜆𝑛

根据Corr 1,𝐿𝐺 是半正定矩阵。因此特征值都大于等于0,也即:

0≤𝜆1≤𝜆2≤...≤𝜆𝑛

这n个特征值中, 、、𝜆1、𝜆2、𝜆𝑛 最重要: 𝜆1=0 , 𝜆2 和图的连通性关系非常大, 𝜆𝑛 有很多下界的结论。

𝜆1 的结论

要证明 𝜆1 =0,等价于证明:

∃𝑥,𝑠.𝑡.𝐿𝐺𝑥=0

取 𝑥=1 ,就有 𝐿𝐺1=0 。

𝜆𝑛 的结论

(7)∀𝑥∈𝑅𝑛,𝑥≠0,𝜆𝑛≥𝑥𝑇𝐿𝐺𝑥𝑥𝑇𝑥

(7)是很容易看出来的(对x做个特征值分解),当然也可以利用The Courant-Fischer Theorem去证明。

Lemma 1. 𝐺=(𝑉,𝐸) , 𝜔∈𝑉 的度数degree是d。那么 𝜆𝑛(𝐺)≥𝑑+1 。

下面利用(6)、(7)来证明Lemma 1:

取 𝑥(𝑢)={𝑑,𝑢=𝑤−1,𝑖𝑓(𝑢,𝑤)∈𝐸0,𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒 ,则:

𝜆𝑛≥𝑥𝑇𝐿𝐺𝑥𝑥𝑇𝑥=∑(𝑢,𝑣)∈𝐸(𝑥𝑢−𝑥𝑣)2𝑥𝑇𝑥≥∑(𝑢,𝑤)∈𝐸(𝑥𝑢−𝑑)2𝑥𝑇𝑥=𝑑(𝑑+1)2𝑑2+𝑑=𝑑+1

Lemma 1对所有顶点都成立,因此有 𝜆𝑛≥𝑑𝑚𝑎𝑥+1 。

𝜆2 的结论

𝜆2 和图的连通性关系非常大,这个特征值被单独命名为the algebraic connectivity of the graph。

这个笔记仅仅给一个最简单的结论:

Lemma 2. 𝜆2>0 的充要条件是 𝐺 是全连通的。

读书笔记小结

这个笔记简单讨论了一下Laplacian矩阵的概念和特征值(谱)。Laplacian矩阵是度数矩阵减去邻接矩阵。同时Laplacian矩阵也等于每个边的Laplacian矩阵之和,这很自然的推导出  𝑥𝑇𝐿𝐺𝑥=∑(𝑢,𝑣)∈𝐸(𝑥𝑢−𝑥𝑣)2。而这个结论一方面说明了Laplacian矩阵的半正定性,又能够结合Courant-Fischer Theorem得到大量关于特征值bound的结论。

关于特征值bound,这里给了三个小结论(实际上有非常多的研究和结论)。分别是: 𝜆1=0 , 𝜆2>0 充要条件是G全连通, 𝜆𝑛≥𝑑𝑚𝑎𝑥+1 。

相关资料

图论我是昨天看分布式控制的时候开始学的,有很多大部头书或者Review,比如:

Modern Graph Theory​link.springer.com/book/10.1007/978-1-4612-0619-4
Laplacian matrices of graphs: a survey​www.sciencedirect.com/science/article/pii/0024379594904863

这些论文和书籍诚然是非常好的,但是对于我这种初学者,看的很晕,这里推荐一下Yale的课程讲义,前面几个Lecture很友好:

Spectral Graph Theory and its Applications​www.cs.yale.edu/homes/spielman/eigs/

另附一个Courant-Fischer Theorem介绍:

The Courant-Fischer Theorem​seanthesanta.github.io/courant-fischer/

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.hqwc.cn/news/793996.html

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系编程知识网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

信息学奥赛初赛天天练-86-NOIP2014普及组-基础题5-球盒问题、枚举算法、单源最短路、Dijkstra算法、Bellman-Ford算法

信息学奥赛初赛天天练-86-NOIP2014普及组-基础题5-球盒问题、枚举算法、单源最短路、Dijkstra算法、Bellman-Ford算法 PDF文档公众号回复关键字:202409081 NOIP 2014 普及组 基础题5 21 把 M个同样的球放到 N个同样的袋子里,允许有的袋子空着不放,问共有多少种不同的放置方法…

搭建内网yum仓库

1.架构图2.环境准备 复制一个虚拟机,修改MAC地址,ip,主机名等 [root@kylin-10-sp3 ~]# hostnamectl set-hostname kylin-sp3-cllient [root@kylin-10-sp3 ~]# [root@kylin-sp3-cllient ~]# vim /etc/sysconfig/network-scripts/ifcfg-ens33 [root@kylin-sp3-cllient ~]#角色…

VS Code 快速输入代码

VS Code 快速输入代码: HTML 代码只输入 ! ,按Enter,这将自动生成一个基本的HTML骨架代码,例如: 快速输入特定的HTML标签,可以使用Emmet插件,它是VS Code的一个扩展,可以通过简短的指令生成复杂的HTML结构。 输入div,按Enter输入div*4,按Enter 例如,输入 ul>li…

微信小程序开发系列4----页面配置--WXML列表渲染

小程序布局-WXML列表渲染 源码获取方式(免费):(1)登录-注册:http://resources.kittytiger.cn/(2)签到获取积分(3)搜索:微信小程序开发2-wxmllist列表渲染

微信小程序开发系列3----页面配置--WXML数据绑定+条件渲染

1小程序布局-WXML数据绑定 有的时候发现需要刷新一下全局的app.js才能有效果。。。。。 2小程序布局-WXML条件渲染 下图会报错:不能在if else 中间插入其他的标签 如下展示一次渲染多个标签使用block 源码获取方式(免费):(1)登录-注册:http://resources.kittytiger.c…

[C++ Daily] 虚表与虚指针的理解

虚表与虚指针的理解结果:

微信小程序开发系列1----账号注册、开发工具下载、小程序代码结构

一、注册小程序账号 url:https://mp.weixin.qq.com/cgi-bin/wx?lang=zh_CN&token= 注册后获取 AppID(小程序ID) 和 AppSecret(小程序密钥)二、微信小程序工具下载 https://developers.weixin.qq.com/miniprogram/dev/devtools/download.html官网文档:https://developers…

可测试,可维护,可移植:上位机软件分层设计的重要性

从三个方面论述了上位机软件分层设计的必要。互联网中,软件工程师岗位会分前端工程师,后端工程师。这是由于互联网软件规模庞大,从业人员众多。前后端分别根据各自需求发展不一样的技术栈。那么上位机软件呢?它规模小,通常一个人就能开发一个项目。它还有必要分前后端吗?…

【漏洞分享】2018年-2024年HVV 6000+个漏洞 POC 合集分享

此份poc 集成了Zabbix、用友、通达、Wordpress、Thinkcmf、Weblogic、Tomcat等 下载链接: 链接: https://pan.quark.cn/s/1cd7d8607b8a看着就真的看着,不学就真的5

【工具推荐】FindEverything(最新版) - 内网渗透必备 敏感文件搜索工具

工具介绍 内网渗透过程中搜寻指定文件内容,从而找到突破口的一个小工具 下载链接: 链接: https://pan.quark.cn/s/067a43165790使用说明 python3 FindEverything.py -n .txt,.ini,.yaml,.php,.jsp,.java,.xml,.sql -c "password=" -d D:/ python3 FindEverything.p…

不可不知的WPF几何图形(Geometry)

在软件行业,经常会听到一句话“文不如表,表不如图”说明了图形在软件应用中的重要性。同样在WPF开发中,为了程序美观或者业务需要,经常会用到各种个样的图形。今天以一些简单的小例子,简述WPF开发中几何图形(Geometry)相关内容,仅供学习分享使用,如有不足之处,还请指…

[Spring]MyBatis的执行原理

MyBatis的执行原理详细介绍 为了使大家能够更加清晰的理解MyBatis程序,在正式讲解MyBatis入门案例之前,先来了解一下MyBatis程序的工作原理,如图1所示。 MyBatis的工作原理从图1可以看出,MyBatis框架在操作数据库时,大体经过了8个步骤。下面就对图1中的每一步流程进行详细…